Was ist die erwartete Varianz?

Varianz misst, wie stark sich ein Wert über einen Zeitraum bewegt, statistisch der Durchschnitt der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert. Die erwartete Varianz bis zu einem Verfall ergibt sich aus dem Quadrat der impliziten Volatilität, multipliziert mit der Restlaufzeit in Jahren.

Der entscheidende Vorteil dieser Größe ist ihre Additivität. Die Varianzen einzelner Zeitabschnitte lassen sich schlicht addieren, die erwartete Gesamtvarianz eines längeren Zeitraums ist die Summe der Teilabschnitte. Bei der Volatilität selbst geht das nicht, weil sie die Wurzel der Varianz ist.

Wozu das dient

Aus dieser Additivität folgt die Forward-Volatilität, also die aus zwei Laufzeiten abgeleitete Volatilität für den Zeitraum dazwischen. Sie ist die saubere Grundlage, um Laufzeiten zu vergleichen und Kalender-Positionen zu bewerten. Ein direkter Vergleich der rohen Volatilitäten verschiedener Laufzeiten führt dagegen in die Irre.

Wer in Varianz statt in Volatilität denkt, kann Zeiträume sauber zerlegen, etwa um die Erwartung für einen einzelnen Ereignistag von der Grundvolatilität zu trennen.

Die Differenz, die kein Fehler ist

Erwartete Varianz beschreibt, welche Schwankung aus Optionspreisen abgeleitet ist. Realisierte Varianz beschreibt, welche tatsaechlich eingetreten ist. Der Abstand zwischen beiden ist ueber lange Zeitraeume systematisch in eine Richtung ausgepraegt: bepreist wird in aller Regel mehr, als sich hinterher einstellt.

Das ist keine Fehlbepreisung, sondern die Praemie fuer die Uebernahme des Risikos. Wer Optionen schreibt, uebernimmt eine unbegrenzte Schwankungsverpflichtung und laesst sich das bezahlen. Die Differenz ist der Preis dieser Uebernahme.

Fuer die Auswertung folgt daraus dieselbe Regel wie bei der Schiefe: aussagekraeftig ist nicht das Vorhandensein der Differenz, sondern ihre Abweichung vom eigenen Normalniveau. Dafuer braucht es eine Historie.

Beim DAX kommt eine methodische Feinheit hinzu. Der VDAX-NEW ist auf eine feste Restlaufzeit von 30 Tagen interpoliert und ueber die Zeit damit vergleichbar. Die tatsaechlich handelbaren ODAX-Serien haben diese Restlaufzeit fast nie. Ein Vergleich zwischen abgeleiteter Erwartung und tatsaechlicher Schwankung vergleicht deshalb streng genommen zwei verschieden zugeschnittene Zeitraeume. Die verwandte Kennzahl fuer die Randbereiche beschreibt Tail Risk.

Ein zweiter Punkt betrifft die Messung der tatsaechlichen Schwankung. Sie haengt daran, in welchem Abstand man misst: aus Tagesschlusskursen ergibt sich ein anderer Wert als aus Stundenwerten, und beides ist richtig. Ein Vergleich zwischen erwarteter und realisierter Groesse braucht deshalb eine festgelegte und durchgehaltene Methode, sonst misst man die Methodenwahl mit.

Fuer die Darstellung folgt daraus dasselbe wie bei der Schiefe: die Kennzahl braucht ihre eigene Historie, um lesbar zu sein, siehe Implied Skew.